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Jürgen Ulm

Numerische Lösung gewöhnlicher und partieller Differenzialgleichungen

Finite-Elemente-Methode (FEM) – Finite-Differenzen-Methode (FDM) – Aufgaben mit Lösungen Studienausgabe

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Lieferzeit: 2-3 Tage

EAN/ISBN
9783838551692
1. 2017

Details

Das Buch schließt eine Lücke, indem dieses die effiziente numerische Lösung von Differenzialgleichungen von physikalischen Effekten erklärt. Der Leser wird mit den entsprechenden mathematischen Grundlagen auf die numerische Lösung von Differenzialgleichungen vorbereitet. Differenzialgleichungen werden klassifiziert und jeweils Beispiele aus der Naturwissenschaft und Technik benannt und zugeordnet. Nach einer Einführung in die Momentenmethode (MOM) zur Lösung von Differenzialgleichungen wird die klassische Form der Galerkin-Methode als Sonderfall der MOM vorgestellt. Mit ihr erfolgt die Lösung ausgewählter Anwendungsbeispiele. Es schließt sich der Übergang zur 1D-FEM nach Galerkin an. Im Fortgang wird dem Leser die Finite-Differenzen-Methode (FDM) mittels bereits mit Galerkin-Methode gelösten Anwendungsbeispielen vorgestellt. Die Lösungen beider zuletzt genannten Methoden werden gegenübergestellt.
  • CoverCover
  • ImpressumIV
  • VorwortV
  • InhaltsverzeichnisVII
  • Symbole und AbkürzungenXII
  • 1 Erforderliche mathematische Grundlagen1
  • 1.1 Matrizen1
  • 1.1.1 Rechenoperationen mit Matrizen1
  • 1.1.2 Determinante2
  • 1.1.3 Inverse Matrix2
  • 1.2 Differenzialgleichungen2
  • 1.2.1 Definitionen3
  • 1.2.2 Partielle Differenzialgleichungen4
  • 1.2.3 Partielle Integration5
  • 1.2.4 Klassifikation von Differenzialgleichungen6
  • 1.2.5 Anfangswertaufgabe7
  • 1.2.6 Randwertaufgabe7
  • 1.2.7 Inneres Produkt9
  • 1.2.8 Starke Form/Formulierung einer Differenzialgleichung11
  • 1.2.9 Schwache Form/Formulierung einer Differenzialgleichung11
  • 1.3 Vektoroperatoren11
  • 1.3.1 Nabla- und Laplaceoperator12
  • 1.3.2 Vektoroperator Gradient12
  • 1.3.3 Vektoroperator Divergenz13
  • 1.3.4 Vektoroperator Rotation13
  • 1.3.5 Gegenüberstellung der Vektoroperatoren13
  • 1.3.6 Nützliche Normen14
  • 2 Differenzialgleichungen und Finite Elemente16
  • 2.1 Physik-Beispiele für Differenzialgleichungen erster Ordnung16
  • 2.2 Physik-Beispiele für Differenzialgleichungen zweiter Ordnung17
  • 2.3 Finite Elemente19
  • 3 Von der Momentenmethode zur Galerkin-Methode21
  • 3.1 Grundprinzip der Momentenmethode21
  • 3.2 Anmerkungen zur Momentenmethode23
  • 3.2.1 Matrix [lmn]23
  • 3.2.2 Wahl der Basis- und Wichtungsfunktionen fn und wn23
  • 3.3 Galerkins Idee24
  • 3.4 Traditionelle Galerkin-Methode24
  • 3.5 Galerkin-FEM-Methode26
  • 3.6 Vorgehen zur Lösung mit der Galerkin-Methode27
  • 4 Lösung der Gleichung dy/dx − y = 0 mit der Galerkin-Methode29
  • 4.1 Wahl der Basis- undWichtungsfunktion29
  • 4.2 Formulierung der schwachen Form mit Basis- und Wichtungsfunktion30
  • 4.3 Überführung des Gleichungssystems in eine Matrizengleichung31
  • 4.4 Lösung des linearen Gleichungssystems31
  • 5 Lösung der Gleichung u(x) = −1/2x^2 + 1/2x mit der Galerkin-Methode33
  • 5.1 Lösung mit linearer Basis- und Wichtungsfunktion33
  • 5.1.1 Schwache Formulierung der Differenzialgleichung34
  • 5.1.2 Diskretisierung des zu lösenden Gebiets35
  • 5.1.3 Wahl der Basis- und Wichtungsfunktion36
  • 5.1.4 Formulierung der schwache Form mit Dreiecksfunktionen φ(x)37
  • 5.1.5 Überführung des Gleichungssystems in eine Matrizengleichung38
  • 5.1.6 Lösung des linearen Gleichungssystems41
  • 5.2 Lösung mit nichtlinearer Basis- und Wichtungsfunktion44
  • 5.2.1 Wahl der Basis- und Wichtungsfunktion44
  • 5.2.2 Schwache Formulierung der Differenzialgleichung45
  • 5.2.3 Überführung des Gleichungssystems in eine Matrizengleichung45
  • 5.2.4 Lösung des linearen Gleichungssystems45
  • 6 Lösung der Gleichung u(x) = −1/2x^2 + 2x mit der Galerkin-Methode47
  • 6.1 Lösung mit linearer Basis- und Wichtungsfunktion48
  • 6.1.1 Schwache Formulierung der Differenzialgleichung49
  • 6.1.2 Diskretisierung des zu lösenden Gebiets49
  • 6.1.3 Wahl der Basis- und Wichtungsfunktion49
  • 6.1.4 Formulierung der schwachen Form mit Dreiecksfunktionen φ(x)50
  • 6.1.5 Überführung des Gleichungssystems in eine Matrizengleichung50
  • 6.1.6 Lösung des linearen Gleichungssystems50
  • 6.2 Lösung mit nichtlinearer Basis- und Wichtungsfunktion51
  • 6.2.1 Wahl der Basis- und Wichtungsfunktion52
  • 6.2.2 Formulierung der schwachen Form mit Basis- und Wichtungsfunktion52
  • 6.2.3 Überführung des Gleichungssystems in eine Matrizengleichung53
  • 6.2.4 Lösung des linearen Gleichungssystems54
  • 7 Lösung physik. Bsp. DGL 1’ter Ordnung mit Galerkin-Methode56
  • 7.1 Durchflutungsgesetz gelöst mit nichtlinearer Basis- und Wichtungsfunktion56
  • 7.1.1 Schwache Formulierung der Differenzialgleichung57
  • 7.1.2 Überführung des Gleichungssystems in eine Matrizengleichung59
  • 7.1.3 Lösung des linearen Gleichungssystems59
  • 7.2 Gegenüberstellung FEM-mit Galerkin-Ergebnis60
  • 8 Lösung physik. Bsp. DGL 2’ter Ordnung mit Galerkin-Methode63
  • 8.1 Elektrostatische Feldberechnung63
  • 8.1.1 Schwache Formulierung der Differenzialgleichung63
  • 8.1.2 Diskretisierung des zu lösenden Gebiets64
  • 8.1.3 Wahl der Basis- und Wichtungsfunktion64
  • 8.1.4 Formulierung der schwachen Form mit Dreiecksfunktionen φ(x)64
  • 8.1.5 Überführung des Gleichungssystems in eine Matrizengleichung66
  • 8.1.6 Lösung des linearen Gleichungssystems68
  • 8.2 Ortsabhängige Temperaturberechnung70
  • 8.2.1 Schwache Formulierung der Differenzialgleichung71
  • 8.2.2 Diskretisierung des zu lösenden Gebiets72
  • 8.2.3 Wahl der Basis- undWichtungsfunktion72
  • 8.2.4 Formulierung der schwachen Form mit Dreiecksfunktionen φ(x)72
  • 8.2.5 Überführung des Gleichungssystems in eine Matrizengleichung73
  • 8.2.6 Lösung des linearen Gleichungssystems75
  • 8.2.7 Diffusionsvorgang vollendet78
  • 8.3 Ortsabhängige Magnetfeldberechnung79
  • 8.3.1 Schwache Formulierung der Differenzialgleichung80
  • 8.3.2 Diskretisierung des zu lösenden Gebiets80
  • 8.3.3 Wahl der Basis- und Wichtungsfunktion81
  • 8.3.4 Formulierung der schwachen Form mit Dreiecksfunktionen φ(x)81
  • 8.3.5 Überführung des Gleichungssystems in eine Matrizengleichung81
  • 8.3.6 Lösung des linearen Gleichungssystems83
  • 9 Einführung in die Finite-Differenzen-Methode88
  • 9.1 Numerische Notation der linearen Felddiffusionsgleichung88
  • 9.2 Lösung mit impliziter Methode nach Crank-Nicolson89
  • 9.2.1 Überführung der Diffusionsgleichung in eine Matrizengleichung89
  • 9.2.2 Lösung der Matrizengleichung91
  • 9.2.3 Anwendungsbeispiel94
  • 9.3 Lösung mit expliziter Methode96
  • 9.3.1 Überführung der Diffusionsgleichung in eine Matrizengleichung97
  • 9.3.2 Lösung der Matrizengleichung98
  • 9.3.3 Anwendungsbeispiel99
  • 10 Anwendungen der FEM zur Produktentwicklung104
  • 10.1 Analyse eines Proportionalmagnetaktors104
  • 10.1.1 Preprocessing105
  • 10.1.2 Processing106
  • 10.1.3 Postprocessing107
  • 10.2 Synthese eines planaren Asynchron-Scheibenläufermotors108
  • 10.2.1 Preprocessing108
  • 10.2.2 Processing108
  • 10.2.3 Postprocessing109
  • 10.2.4 Musterbau des planaren Asynchronmotors109
  • 11 Anwendung der FEM zur Produktoptimierung111
  • Anhang A114
  • A.1 MATLAB-Code – Wärmediffusionsskript114
  • A.2 MATLAB-Code –Magnetfelddiffusionsskript118
  • A.3 MATLAB-Ergebnisse vs. COMSOLMultiphysics-Ergebnisse124
  • Literaturverzeichnis127